Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{array}] \cdot 9$

Paso 1

Mueve $9$ a la izquierda de $[\begin{array}{c} 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{array}]$ .

$9 \cdot [\begin{array}{c} 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica $9$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 9 \cdot 3 & 9 \cdot 7 \\ 9 \cdot 4 & 9 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 9 \cdot 7 \\ 9 \cdot 4 & 9 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplica $9$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 63 \\ 9 \cdot 4 & 9 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $9$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 63 \\ 36 & 9 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica $9$ por $6$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 63 \\ 36 & 54 \end{array}]$

Paso 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$27 \cdot 54 - 36 \cdot 63$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $27$ por $54$ .

$1458 - 36 \cdot 63$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 36$ por $63$ .

$1458 - 2268$

Paso 5.2.2

Resta $2268$ de $1458$ .

$- 810$

Paso 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 810} [\begin{array}{c} 54 & - 63 \\ - 36 & 27 \end{array}]$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{810} [\begin{array}{c} 54 & - 63 \\ - 36 & 27 \end{array}]$

Paso 9

Multiplica $- \frac{1}{810}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{810} \cdot 54 & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $54$ .

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Paso 10.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{810}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{810} \cdot 54 & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.1.2

Factoriza $54$ de $810$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{54 (15)} \cdot 54 & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{54 \cdot 15} \cdot 54 & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{15} & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & - \frac{1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 10.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{810}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- 1}{810} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.3.2

Factoriza $9$ de $810$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- 1}{9 (90)} \cdot - 63 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.3.3

Factoriza $9$ de $- 63$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- 1}{9 \cdot 90} \cdot (9 \cdot - 7) \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.3.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- 1}{9 \cdot 90} \cdot (9 \cdot - 7) \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.3.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- 1}{90} \cdot - 7 \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.4

Combina $\frac{- 1}{90}$ y $- 7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{- - 7}{90} \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.5

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ - \frac{1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.6

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 10.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{810}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- 1}{810} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.6.2

Factoriza $18$ de $810$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- 1}{18 (45)} \cdot - 36 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.6.3

Factoriza $18$ de $- 36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- 1}{18 \cdot 45} \cdot (18 \cdot - 2) & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.6.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- 1}{18 \cdot 45} \cdot (18 \cdot - 2) & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.6.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- 1}{45} \cdot - 2 & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.7

Combina $\frac{- 1}{45}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{- - 2}{45} & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & - \frac{1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.9

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 10.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{810}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & \frac{- 1}{810} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.9.2

Factoriza $27$ de $810$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & \frac{- 1}{27 (30)} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.9.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & \frac{- 1}{27 \cdot 30} \cdot 27 \end{array}]$

Paso 10.9.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & \frac{- 1}{30} \end{array}]$

Paso 10.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} & \frac{7}{90} \\ \frac{2}{45} & - \frac{1}{30} \end{array}]$